Mazsola Tananyag 2. rész: Vigyázz, ha jön a kanyar
Földanyánk arcának ráncait a töltések, hidak, alagutak segítségével úgy-ahogy kisimíthatjuk, de néha az akadályokat meg kell kerülni, máskor meg érdemesebb kerülni, mert ez az olcsóbb megoldás.
Azt sem szabad elfelejteni, hogy a matematikai alapszabály, miszerint két pont között az egyenes a legrövidebb út csak két pontra igaz. Kettőnél több pontot – állomást – ugyan egyenes szakaszokkal összeköthetünk, csakhogy ilyen pályát a vonat nem használhat. (Legfeljebb a drezina és a motorvonat egy fordítókorong segítségével 🙂
GYIK: Mi az a drezina?
Válasz: Kézihajtány és motoros változatai – esetleg karosszériába burkolva. Persze akkor már sínautónak is becézhetjük (úgy menőbb 🙂
Görbület és ívsugár
Az egyenes pályáról íves pályára térített vonat ugyan nincs kitéve komoly lelki megrázkódtatásnak, de a kanyar nem lehet akármilyen éles. Tudod jól, hogy a mérnökök mindent mérnek (ahogy az ülnökök rendszerint ülnek, a döntnökök döntenek stb.), ezért nem kell csodálkozni, ha a kanyarodás mértékét is igyekeznek számokkal kifejezni.
DEFINÍCIÓ: (bocs, de muszáj) a görbe egy szakaszának átlagos görbülete a két végpont közötti irányváltozás ( b ) és az ívhossz ( s ) hányadosa: G = b / s.
Átlagos görbületről van szó. Hasonló ez, mint az átlagsebesség = út per idő. Az átlagos görbület számértéke tehát azt fejezi ki, hogy egységnyi úton mekkora az irányváltozás. Az utat méterben mérjük, a szöget megadhatnánk fokokban, de úgy nem elég tudományos. Ezért a görbület SI egysége a radián/méter, helyesebben 1/m (mert ugye a radián az abszolút :-). Például egy r = 20 m sugarú félkör alakú kanyar ívhossza s = 3,14 r = 62,8 m, a kanyar elején és végén az irányok eltérése 180o, ami 3,14 radián. Az átlagos görbület tehát G = 0,05/m. Az 5 m sugarú félkörnél G = 0,2/m, r = 1000 m-nél pedig G = 0,001 adódik. Nem árulok el titkot, hogy egy kör bármilyen méretű ívénél ugyanakkora az átlagos görbület, mégpedig a sugár reciproka: G =1/r.
A vasúti pályáknál néhány hektométeres köríveket találsz. Felső határ nincs, de a normál nyomtávolságú fővonalakon a legkisebb ívsugár 300 m (G=0,00333/m), mellékvonalon 190 m (G=0,0053/m) és csak a kiszolgáló pályaudvarok, ipartelepek vágányrendszerében engednek ennél erősebb görbületű szakaszokat, minimum 140 m sugárral (G=0,007/m). A nagy sebességű vonatok számára épülő vonalakon a szokásos ívsugár 2200m (G=0,000 45/m).
Az átlagos görbület csak a körpályán és az egyenesben (itt G = 0) állandó. A minden más görbén szakaszonként különböző átlagokat kapunk. Ahogy az átlagsebesség mellett beszélünk pillanatnyi sebességről, ugyanúgy értelmezzük a görbe egy pontjához tartozó pontbeli görbületet. (Erősebb idegzetűeknek: a görbület az érintővektor ívhossz szerinti deriváltjának abszolút értéke: |d t(s)/ds|.) A gyakorlatban ritkán használják az irányváltozásnak ezt a mértékét, inkább a görbét egy kis darabon (elvben) helyettesítő kör – a görbületi kör, simulókör – sugarával jellemzik. A görbületi kört a kormányzott járműveknél a volán pillanatnyi állása határozza meg. HA AZ ÚT MAGA NEM KÖRÍV, AKKOR A RÖGZITETT KORMÁNY LEVISZ AZ ÚTRÓL ÉS KÖRPÁLYÁN MOZOGSZ. (Persze csak addig, amíg a fák elugranak előled. Ha csak egy lusta van köztük, akkor annyi… 🙂
A kanyargós pálya
A vasútépítés hőskorában a terep egyenetlenségei mellett néhány földbirtokos ellenállása is beleszólt a traszirozásba. A régi vasút jó néhány kanyargós vonala ennek is tulajdonítható. A kanyargós pálya elvben csupa egyenes és köríves szakaszokból áll, a lassú járművek korában ez meg is felelt. A zökkenőmentes átmenethez azonban a csatlakozó körívek találkozási pontján kívül a végpontbeli érintőket is illeszteni kell. Az ilyen összetett görbe neve szplájn, – angolul spline. (Ugyanolyan ronda szó, mint a spájz, a bájt, a drájver, de ez van 🙂
Különböző körívekből összerakott szplájn a műszaki rajzolók számára régen ismert kosárgörbe is. Ezt használják a pontonként szerkeszthető görbék (ellipszisek, evolvensek stb.) rajzolásánál.
Körívek önmagukban nem okoznak gondot, de az eltérő ívek csatlakozásánál a pálya a járművet hirtelen irányváltásra kényszeríti. Ez a nagy sebességű vonatok kisiklásához vezetne.
GYIK: Mi hát a megoldás?
Válasz: fokozatosan kell a vonatot az íves szakaszok között átvezetni: ne legyen két szakasz találkozásánál nagy ugrás a görbület változásában. A fokozatos átmenetet biztosító görbe az átmeneti ív.
A legtökéletesebb átmeneti ív az, amelyiknek a pontonkénti görbülete a görbe mentén egyenletesen változik. Egyetlen ilyen görbe létezik a klotoid. (Úgy tudom elsőként Johann Bernoulli /~1696-ban/, majd Euler /~1740-ben/ vizsgálta. Ennek ellenére cornu-spirálnak is szokták még hívni. Mivel akkor még vasút nem volt, sokra nem mentek vele 🙂
Persze a görbének csak a középső része alkalmas utak, vasutak építésére. Ez a rész nagyon hasonlít egy talán általad is jól ismert függvény, az y = ax3 grafikonjára. A két görbe nagyon jól egyezik 15o-os irányváltozáson belül. Ezért az átmeneti ívek számításánál jól használható a harmadfokú (kubikus) parabola.
Átmeneti ívek
Amint már említettem, az utak, vasutak többsége egyenes és köríves szakaszokból épül. Az átmeneti ívek alkalmazására két különböző görbületű szakasz között van szükség. Két alapfeladaton mutatom meg a problémát és utalok a megoldásra.
Első példában adott két egyenes szakasz. Az éles kanyarhoz (átmeneti ív nélkül) nem kell más, csak az alkalmazható legnagyobb görbületű, azaz legkisebb sugarú körív. Ennek megszerkesztése gyerekjáték. (Legalább 7-edikeseknek. Ovisoknak segíteni kell 🙂 A tompa kanyarhoz – ami elengedhetetlen a nagyobb sebbesség mellett – pedig nagyobb sugarú kört kell választani. A szerkesztés persze ugyanaz.
Akármekkora a körív sugara, az egyenes és íves szakasz között átmeneti ívet kell használni. Kétféle megoldást mutatok. Mindkettőnél ki kell jelölni azokat a pontokat, ahol az átmeneti ív az egyenessel (E) és a körrel (K) találkozik. Az egyik megoldásban e két pont közé olyan klotoid- (vagy kubikus-) ívet kell szerkeszteni, amelyik a két szakaszt ezekben a pontokban érinti éspedig úgy, hogy a simulóköre az adott nyomvonalakkal egyezik. (Az egyenest is körnek gondoljuk. ) Más szóval: az átmeneti ív és a nyomvonal találkozzon, legyen közös az érintőjük és a görbületük. (Harmadrendű illesztésnek is mondjuk.)
A másik megoldáshoz egy kis számolás kell. Ha a körív sugara mondjuk R1=200 m, akkor ennek minden pontjában (K-ban is) a görbülete G1 = 1/200m = 0,005/m. Az egyenes szakaszé viszont G0 = 0/m. Ha megelégszünk egy fokozatú kiegyenlítéssel, akkor egy olyan körívet kell E és K közé illeszteni, aminek görbülete e két görbület középértéke: G = (0 + 0,005)/2 = 0,0025/m. A megfelelő görbületi kör sugara tehát R = 1/G = 400 m. Ha viszont több fokozatban akarjuk a pályát a két szakasz között átvezetni, akkor a G0 és G1 görbület közé több egyenletesen változó értéket kell beiktatni. Mondjuk 4 fokozatnál a görbületek rendre 0 – 0,00125 – 0,00250 – 0,00375 – 0,00500. A megfelelő sugarak sorban ¥(egyenes) – 800m – 400m – 267m – 200m.
A Trainz vágányai között található fix vágánymezők (fixed tracks) lehetővé teszik ez utóbbi szerkesztésnek az alkalmazását. Ezek nem a Surveyor vágányai között (a Track menüben), hanem a tereptárgyak között (az Object menüben) szerepelnek. Ha megszerezted a megfelelő kézikönyvet – Content Creators Guide -, abban megtalálod a pontos listát: R = 75 m-től 1500 m -ig terjedő ívsugarak változatos skáláján belül különböző hosszúságú darabokat tartalmaz az alapkészlet. Ezeknek nem a hosszát, hanem az ívhez tartozó középponti szöget adják meg, ami az irányváltással egyezik. A készletben 5o, 10o, 15o–os elemek szerepelnek. Ezekből igen változatos kosárgörbék, átmeneti ívek rakhatók össze – egyenesekkel kombináltan, vagy azok nélkül. NE KERESD sem a klotoidot, sem a közelítéseként használható kubikus parabolát. Ezek helyett a Trainz a szplájnokat kínálja (mert ugyebár ez csak szimula :-), de tudnod kell, hogy ezekkel az ívekkel az egész világ vasúti hálózatában és a modern autópályákon találkozol. Sőt, a vízi utak is így épülnek. (A természetes vízi utak persze tökéletesebbek 🙂
Most a Trainz jellegzetes, szabadon vezethető vágányaira és más szplájnjaira – vezetékek, fasorok, kerítések, utak stb. – fordítjuk a figyelmünket.
Bézier és Casteljau görbéi
Az egyenesekből, körívekből és az átmeneti ívekből sok pálya kialakítható. A feladat általánosan úgy fogalmazható, hogy a sík több adott pontját kell összekötni egy összefüggő vonallal. A matematikusok (már megint ők!) ezt a feladatot nevezik interpolációnak. A legegyszerűbb megoldás persze az lenne, ha a pontokat a megfelelő sorrendben egyenes szakaszokkal kötnénk össze: ez a lineáris interpoláció. A lineáris interpoláció néhol elegendő pontosságot szolgáltat, de útépítésnél nem jöhetnek szóba. Itt ugyanis a feladat nem csupán a pontok „összekötése”, hanem ennél szigorúbb a kikötés: törésmentesen kell az íveknek csatlakozniuk. Az egyenesekből, körökből, másod- meg harmadfokú parabolákból, klotoidokból összerakható szplájnok sokszor elég jó megoldást adnak, ám a mérnökök még ezeknél is jobbakat kerestek.
A hajóépítők már régóta alkalmaztak a tervezőasztalukon a merev vonalzók mellett egy hajlékony lécet a hajótest konturjának meg rajzolásához. Ez az a vonalzó amit az angolok úgy írnak: spline és úgy mondanak: szplájn.
A számítógépes tervezésben a hajlékony vonalzót képletekkel kell helyettesíteni. Két francia autótervező mérnök, Bézier és de Casteljau, egymástól függetlenül talált egy nagyon egyszerű görbét. Megmutatom a négy ponttal megadott görbe pontjainak szerkesztését.
A négy pont közül kettő a görbeív két végpontja, az ábrán A és B. A másik két pont – U és V – a végpontokhoz tartozó érintők irányát jelöli ki. Casteljau szerkesztési eljárása abból áll, hogy az AUVB (piros) töröttvonal mindhárom szakaszán felvesz egy-egy pontot, amelyek a megfelelő oldalt azonos arányban osztják (Az ábrán 1:1 az arány.) Az így kapott piros pontok száma már csak 3, de ezek is egy (kék) töröttvonalat alkotnak. A kék szakaszokon ismét felveszünk egy-egy pontot, ami az előző lépésben használt arányban osztja a szakaszt: kék pontok. A két kék pontot összekötő (zöld) szakaszon újra kijelöljük az adott arányban osztó (zöld) pontot: P. Ez lesz a görbe egy pontja. Sok ilyen pont szerkeszthető, ha az itt használt 1:1 arány helyett tetszőleges m:n arányú osztást alkalmazunk. (Így leírva borzasztó, de ha egyszer megcsinálod érthető lesz. Majd ha találkozunk nekem is elmondod 🙂
A pontok szerkesztését számítással kell felváltani, az ehhez szükséges képletet a másik mérnök (ő sem matematikus!) Bézier találta meg, s azóta róla elnevezve vált ismertté. Nem írom le a képletet (nehogy rosszul légy), csak annyit, hogy harmadfokú egyenleteket tartalmaz. Ez azonban csak a négy kontrolponttal adott Bézier-görbére igaz. A Casteljau-féle szerkesztést akárhány kontrolpont megadásával el lehet végezni. A megfelelő Bézier-görbe egyenlete ennek megfelelően magasabb fokszámú lesz: n+1 kontrolpont, n-edfokú görbe. Egy ábrán mutatok 2 ponttal megadott elsőfokú görbét (egyenes), 3 ponttal adott másodfokút (parabola) és a 4-pontos harmadfokút (ez már nem parabola). A gyakorlatban ezt a hármat használják a számítógépes tervezésnél.
Kipróbálhatod a viselkedésüket, ha a Windows részeként a gépeden levő Paint alkalmazást elindítod. Az eszközök között található görberajzoló ikont választva az egér első kattintása az ív egyik végpontját teszi le a rajzlapra-képernyőre. A második pontot az egér vonszolásával és a gomb felengedésével tűzheted ki. Ha ekkor eszközt váltasz a két pont közötti egyenes lesz a termés. Ha azonban egy harmadik helyen újból lenyomod és nyomva tartod az egér gombját, akkor a Bézier-görbe harmadik kontrollpontját kapod, amelyet a lenyomott egérgombbal mozgathatsz. Ha a gombot felengeded kész a másodfokú görbe és ha eszközt váltasz meg is marad. Ha nem ezt teszed, akkor kapsz még egy lehetőséget a negyedik kontrollpont kijelölésére és vonszolására. A görbe alakja az egérgomb elengedésével véglegessé válik. (Ezt is könnyebb csinálni, mint leírni. Bocs.)
NE FELEDD: a harmadik és negyedik kontrollponton nem megy át a vonal. A Paint nagyon egyszerű programocska, a megrajzolt görbe alakját utólag nem változtathatod: a bittérképes grafika ilyen. A vektoros rajzprogramok (pl. Corel-Draw, Microsoft Visio stb.) azonban utólagos manipulációt, javítást, igazítást is engednek.
A Trainz építő (Surveyor) moduljában a kiválasztott vágány, fasor, kerítés stb. egyik (A) pontját kell először elhelyezned: első kattintás az egérrel. A második kattintás az ív másik végpontját (B) teszi le. Ha nem csatlakoztatsz hozzá másik szakaszt, akkor ez egyenes marad. A szakaszhoz további kontrollpontokat csak akkor csatol a program (automatikusan), amikor csatlakoztatsz hozzá egy másik szakaszt.
B-szplájnok
Az egyenesek, körök mintájára a Bézier-görbék íveiből is lehet egymáshoz fűzni darabokat. Így kapjuk az adott pontokon átmenő, a csatlakozó pontokban közös érintővel rendelkező B-szplájnokat. (Kitalálod minek a rövidítése a B betű.) Amint említettem a parabolákhoz hasonlóan a B-görbék is különböző fokszámúak lehetnek, aszerint, hogy hány kontrollponttal adjuk meg a darabokat. A magasabb fokúak „finomabb” ívelést biztosítanak, de az interaktív programokban nehezebben kezelhetők. Mivel a harmadfokú ívekből álló B-szplájn a vasút-szimulációban (még a repülőgép-tervezésnél is!) megfelel, a Trainz csapat érthetően emellett kötött ki. Neked a trasszirozás közben csak ki kell választanod a csomópontokat – a pálya pontjait – és a csatlakozó szakaszok végpontjait csupán egymáshoz közel kell elhelyezned: a program ekkor összekapcsolja a szplájn két ívét és egyúttal az érintőket is összeigazítja. A pálya végső alakját CSAK a látható kontrollpontok mozgatásával alakíthatod. Ezek a szplájn csatlakozó pontjai.
Bár a szimulátor a valóságosnál élesebb kanyarokat is elvisel, az illendőség úgy kívánja, hogy tartsuk be az igazi vasút szabványait itt is és az emelkedők szerkesztésénél is. Mindkettő ellenőrizhető a Surveyor eszközeivel: a „Show Curve Radius” a görbületi sugarat, a „Get Gradient” a két végpont közötti lejtő meredekségét mutatja meg. Ezek a megjegyzések a Track almenü minden vágányára – hídak, alagutak – és az Object almenü szplájnjaira – felsővezetékek, fasorok, kerítések, távvezetékek stb. – egyaránt vonatkoznak.
A Trainz program a terep dimbes-dombos felületének közelítésére nem szplájnokat alkalmaz a Surveyor Topology almenüjében. Ha megnézed az alakítás alatt álló felületet, láthatod, hogy csak a 10 m-es háló csúcsai mozgathatók, az élek egyenesek maradnak (lineáris interpoláció). A változtatás beállítható hatósugarától függ, hogy a vonszolt csúcs mekkora környezete követi a mozgást.
Összefoglalásul tehát annyit, hogy a pálya tervezésénél – később erről is szó lesz – a vágányok menetét, elhelyezkedését nagyjából meg kell határoznod, függetlenül attól, hogy fix mezőket, vagy szplájnokat fogsz alkalmazni. Az avatott szimulánsok közül egyesek esküsznek a fix mezőkre – mint az igazi vasutaknál – és a vágány-szplájnokat csak az átmeneteknél és a váltóknál használják. Mások az egyszerűbb utat választják: csak szplájnokból építkeznek. Ám tudnod kell, hogy a hosszú, kanyargós szakaszokhoz sok csatlakozó pont kell és ez a szimulátor üzemét lelassítja. A kevés pont viszont nem mindig alkalmas a kívánt ívek kialakítására.
Itt egy szép példa a tervezésre. Ajánlom az oldal meglátogatását: http://www.trainzprorutes.com
A vázlat alapján a Surveyorkínálta 10 m-es hálózat segítségével a csomópontok kijelölhetők, a vágányok lerakhatók. A vonal végleges alakját az összes szakasz elhelyezése után a csatlakozó pontok mozgatásával adhatod meg. (Ekkor kerülhet sor a szintezésre is.)
